2. 考研
  3. 设z=z(x，y)是由9x2一54x)，+90y2一6yz一z2+18=0确定的函数，求z=z(x，y)的极值点和极值．

设z=z(x，y)是由9x2一54x)，+90y2一6yz一z2+18=0确定的函数，求z=z(x，y)的极值点和极值．

admin2019-07-10  63
问题 设z=z(x，y)是由9x2一54x)，+90y2一6yz一z2+18=0确定的函数，求z=z(x，y)的极值点和极值．
选项
答案利用一阶全微分形式不变性，将方程求全微分即得18xdx一54(ydx+xdy)+180ydy一6zdy一6ydz一2zdz=0，即(18x一54y)dx+(180y一54x一6z)dy一(6y+2z)dz=0．从而[*]为求隐函数z=z(x，y)的驻点，应解方程组[*] ②可化简为x=3y．由⑧可得z=30y一9x=3y，代入①可解得两个驻点x=3y=1，z=3与x=一3，y=一1，z=一3．为判定z=z(x，y)在两个驻点处是否取得极值，还需求z=z(x，y)存这两点的二阶偏导数： [*] 记P=(3，1，3).Q=(一3，一1，一3)，即可得出在P点处[*]故[*]故在点(3，1)处z=z(x，y)取得极小值z(3，1)=3．类似可知在Q点处[*]故[*]．且[*]故在点(一3，一1)处z=z(x，y)收得极大值z(一3，一1)=一3．
解析
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考研数学三

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