设A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，证明：矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(A｜B)．

admin2017-06-14 81

问题设A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，证明：矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(A｜B)．

选项

答案设矩阵A，X和B按列分块为 [*] 则AX=A[x₁，x₂，…，x_p]=[Ax₁，Ax₂，…，Ax_p]，故AX=B可以写成AX_j=β_j (j=1，2，…，p)，所以，矩阵方程AX=B有解 <=>线性方程组AX_j=β_j有解(j=1，2，…，p) <=>向量β_j可由A的列向量组α₁，α₂，…，α_n线性表出 <=>向量组α₁，α₂，…，α_n与向量组α₁，α₂，…，α_n，β₁，β₂，…，β_p等价 <=>r(α₁，α₂，…，α_n)=r(α₁，α₂，…，α_n，β₁，β₂，…，β_p) <=>r(A)=r(A｜B)．

解析

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设向量α=(α1，α2，…，αn)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT．矩阵A的特征值和特征向量．

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