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  3. 设A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，证明：矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(A｜B)．

设A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，证明：矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(A｜B)．

admin2017-06-14  75
问题 设A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，证明：矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(A｜B)．
选项
答案设矩阵A，X和B按列分块为 [*] 则AX=A[x1，x2，…，xp]=[Ax1，Ax2，…，Axp]，故AX=B可以写成AXj=βj (j=1，2，…，p)，所以，矩阵方程AX=B有解 <=>线性方程组AXj=βj有解(j=1，2，…，p) <=>向量βj可由A的列向量组α1，α2，…，αn线性表出 <=>向量组α1，α2，…，αn与向量组α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βp等价 <=>r(α1，α2，…，αn)=r(α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βp) <=>r(A)=r(A｜B)．
解析
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考研数学一

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