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设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α1=(-1,2,-1)T,α2=(0,-1,1)T,是线性方程组Ax=0的两个解, (1)求A的特征值与特征向量; (2)已知正交变换x=Qy,把二次型f=xTAx化为标准形,求矩阵Q和A。
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α1=(-1,2,-1)T,α2=(0,-1,1)T,是线性方程组Ax=0的两个解, (1)求A的特征值与特征向量; (2)已知正交变换x=Qy,把二次型f=xTAx化为标准形,求矩阵Q和A。
admin
2021-04-16
80
问题
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α
1
=(-1,2,-1)
T
,α
2
=(0,-1,1)
T
,是线性方程组Ax=0的两个解,
(1)求A的特征值与特征向量;
(2)已知正交变换x=Qy,把二次型f=x
T
Ax化为标准形,求矩阵Q和A。
选项
答案
(1)由题设,可知Aα
1
=0=0α
1
,Aα
2
=0=0α
2
,所以λ
1
=λ
2
=0是A的二重特征值,α
1
,α
2
是A的属于特征值0的两个线性无关的特征向量;又A的各行元素之和均为3,所以 [*] 即λ
3
=3是A的一个特征值,α
3
=(1,1,1)
T
是A的属于特征值3的特征向量。 因此,A的特征值为0,0,3,属于特征值0的所有特征向量为k
1
α
1
+k
2
α
2
(k
1
,k
2
是不全为零的任意实数),属于特征值3的所有特征向量为k
3
α
3
(k
3
为任意非零实数)。 (2)先将α
1
,α
2
正交化,令ζ
1
=α
1
=(-1,2,-1)
T
,ζ
2
=α
2
-(α
1
,ζ
1
)ζ
2
/(ζ
1
,ζ
1
)=(1/2)(-1,0,1)
T
,再将ζ
1
,ζ
2
,α
3
单位化,得 β
1
=ζ
1
/‖ζ
1
‖=[*](-1,2,-1)
T
,β
2
=ζ
2
/‖ζ
2
‖=[*](-1,0,1)
T
,β
3
=α
3
/‖α
3
‖=[*](1,1,1)
T
,所以正交矩阵Q=
1
(β
1
,β
2
,β
3
),即 Q=[*] 又记D=[*], 则Q
T
AQ=D,所以A=QDQ
T
=[*]。
解析
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0
考研数学三
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