设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α1=(-1,2,-1)T,α2=(0,-1,1)T,是线性方程组Ax=0的两个解, (1)求A的特征值与特征向量; (2)已知正交变换x=Qy,把二次型f=xTAx化为标准形,求矩阵Q和A。

admin2021-04-16  61

问题 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α1=(-1,2,-1)T,α2=(0,-1,1)T,是线性方程组Ax=0的两个解,
    (1)求A的特征值与特征向量;
    (2)已知正交变换x=Qy,把二次型f=xTAx化为标准形,求矩阵Q和A。

选项

答案(1)由题设,可知Aα1=0=0α1,Aα2=0=0α2,所以λ12=0是A的二重特征值,α1,α2是A的属于特征值0的两个线性无关的特征向量;又A的各行元素之和均为3,所以 [*] 即λ3=3是A的一个特征值,α3=(1,1,1)T是A的属于特征值3的特征向量。 因此,A的特征值为0,0,3,属于特征值0的所有特征向量为k1α1+k2α2(k1,k2是不全为零的任意实数),属于特征值3的所有特征向量为k3α3(k3为任意非零实数)。 (2)先将α1,α2正交化,令ζ11=(-1,2,-1)T,ζ22-(α1,ζ12/(ζ1,ζ1)=(1/2)(-1,0,1)T,再将ζ1,ζ2,α3单位化,得 β11/‖ζ1‖=[*](-1,2,-1)T,β22/‖ζ2‖=[*](-1,0,1)T,β33/‖α3‖=[*](1,1,1)T,所以正交矩阵Q=11,β2,β3),即 Q=[*] 又记D=[*], 则QTAQ=D,所以A=QDQT=[*]。

解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Zpx4777K
0

最新回复(0)