2. 考研
  3. 设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)上可导，且f(0)=0，f(1)=1，证明：对于任意正数a，b，总存在x1，x2∈(0，1)，使得成立。

设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)上可导，且f(0)=0，f(1)=1，证明：对于任意正数a，b，总存在x1，x2∈(0，1)，使得成立。

admin2016-02-27  48
问题 设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)上可导，且f(0)=0，f(1)=1，证明：对于任意正数a，b，总存在x1，x2∈(0，1)，使得成立。
选项
答案只需证明[*]即可。 因a，b均为正数，所以有[*]。 又因为f(0)=0，f(1)=1，所以[*]， 则由连续函数的介值定理可知，必存在ξ∈(0，1)， 使得[*]成立，于是有 [*] 在[0，ξ]与[ξ，1]上分别使用拉格朗日中值定理，得 f(ξ)-f(0)=f’(x1)ξ，x1∈(0，ξ)， f(1)-f(ξ)=f’(x2)(1-ξ)，x2∈(ξ，1)， [*]
解析
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考研数学二

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