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  3. 设α1，α2，…，αs均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是( )

设α1，α2，…，αs均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是( )

admin2020-04-30  25
问题 设α1，α2，…，αs均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是(             )
选项 A、若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关
B、若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关
C、若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关
D、若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关
答案A
解析 本题考查矩阵的乘法和向量组线性相关性．可用定义分析：λ1α1+2α2+…+sαs=0中，若存在λ1，λ2，…，λs是一组不全为零数时，向量组α1，α2，…，αs是线性相关的；若只有当λ1，λ2，…，λs都为零数时，向量组α1，α2，…，αs是线性无关的．也可用向量组的秩分析：向量组线性相关的充分必要条件是其秩小于向量组中向量的个数．
若α1，α2，…，αs线性相关，则存在不全为零的数k1，k2，…，ks，使
    k1α1+k2α2+…+ksαs=0，
在等式的两端左乘矩阵A得
    k1Aα1+k2Aα2+…+ksAαs=A(k1α1+k2α2+…+ksαs)=A0=0
由于k1，k2，…，ks不全为零，故Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．所以A选项正确，B不正确．
设α1，α2，…，αs线性无关，若m=n，且A=E，则Aα1，Aα2，…，As线性无关．所以C不正确．若A=O，则Aα1，
Aα2，…，Aαs线性相关．所以D不正确．故选A．
本题也可以用秩分析．由于(Aα1，Aα2，…，Aαs)=A(α1，α2，…，αs)，所以
    r(Aα1，Aα2，…，Aαs)=r[A(α1，α2，…，αs)]≤r(α1，α2，…，αs)．
  若α1，α2，…，αs线性相关，则r(α1，α2，…，αs)＜s．于是r(Aα1，Aα2，…，Aαs)＜s．故Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．
故选项(A)正确．
注：要确定结论正确，则要求在任意情况下结论都正确，取特殊的正确，则不能确定结论正确．要确定结论不正确，只需取一种特殊情况，结论不正确，即可否定．则
    x1(α1+α2)+x2(α2+α3)+…+xs(αs+α1)=0，
即
    (x1+xs)α1+(x1+x2)α2+…+(xs-1+xs)αs=0，
由于α1，α2，…，αs线性无关，所以
     
方程组的系数行列式为
     
当s为奇数时，D=2≠0，方程组只有零解，所以x1=0，x2=0，…，xs=0，此时向量组β1，β2，…，βs线性无关．当s为偶数时，D=0，方程组有非零解，即有不全为零的k1，k2，…，ks使得k1β1+k2β2+…+ksβs=0，故向量组β1，β2，…，βs线性相关．
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