设A，B都是n阶正定矩阵，则： AB是正定矩阵A，B乘积可交换．

admin2019-02-23 63

问题设A，B都是n阶正定矩阵，则：
AB是正定矩阵<=>A，B乘积可交换．

选项

答案“<=”先证明AB对称．(AB)^T=B^TA^T=BA=AB．再证明AB的特征值全大于0．存在可逆实矩阵C，使得A=CC^T．则AB=CC^TB，相似于C^TBC，特征值一样，而C^TBC是正定的，特征值全大于0． “=>”AB正定，则对称．于是BA=B^TA^T=(AB)^T=AB．

解析

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考研数学二

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