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  3. 设f(x)=x+x2+…+xn(n≥2)． (1)证明方程f(x)=1有唯一的正根x； (2)求．

设f(x)=x+x2+…+xn(n≥2)． (1)证明方程f(x)=1有唯一的正根x； (2)求．

admin2016-10-13  77
问题 设f(x)=x+x2+…+xn(n≥2)．
    (1)证明方程f(x)=1有唯一的正根x；
    (2)求．
选项
答案(1)令φn(x)=fn(x)一1，因为φn(0)=一1＜0，φn(1)=n—1＞0，所以φn(x)在(0，1)[*](0，+∞)内有一个零点，即方程fn(x)=1在(0，+∞)内有一个根． 因为φ’n(x)=1+2x+…+nxn—1＞0，所以φn(x)在(0，+∞)内单调增加，所以φn(x)在(0，+∞)内的零点唯一，所以方程fn(x)=1在(0，+∞)内有唯一正根，记为xn． (2)由fn(xn)一fn+1(xn+1)=0，得 (xn一xn+1)+(xn2一xn+12)+…+(xnn一xn+1n)=xn+1n+1＞0，从而xn＞xn+1，所以{xn}xn+1∞单 [*]
解析
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考研数学一

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