设f(x)=x+x2+…+xn(n≥2)． (1)证明方程f(x)=1有唯一的正根x； (2)求．

admin2016-10-13 81

问题设f(x)=x+x²+…+xⁿ(n≥2)．
(1)证明方程f(x)=1有唯一的正根x；
(2)求

．

选项

答案(1)令φ_n(x)=f_n(x)一1，因为φ_n(0)=一1＜0，φ_n(1)=n—1＞0，所以φ_n(x)在(0，1)[*](0，+∞)内有一个零点，即方程f_n(x)=1在(0，+∞)内有一个根．因为φ’_n(x)=1+2x+…+nx^n—1＞0，所以φ_n(x)在(0，+∞)内单调增加，所以φ_n(x)在(0，+∞)内的零点唯一，所以方程f_n(x)=1在(0，+∞)内有唯一正根，记为x_n． (2)由f_n(x_n)一f_n+1(x_n+1)=0，得 (x_n一x_n+1)+(x_n²一x_n+1²)+…+(x_nⁿ一x_n+1ⁿ)=x_n+1ⁿ⁺¹＞0，从而x_n＞x_n+1，所以{x_n}x_n+1^∞单 [*]

解析

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