f(x)在[a，b]上有二阶连续导数，且满足方程f〞(x)+x2fˊ(x)-2f(x)＝0，证明：若f(a)＝f(b)＝0，则f(x)在[a，b]上恒为0.

admin2013-01-07 67

问题 f(x)在[a，b]上有二阶连续导数，且满足方程f〞(x)+x²fˊ(x)-2f(x)＝0，证明：若f(a)＝f(b)＝0，则f(x)在[a，b]上恒为0.

选项

答案若最大值M＞0，设f(xM)＝M，xM∈(a，b). 则由费马定理得fˊ(xM)＝0，又f(xM)为极大值. 则f〞(xM)＜0，另由题设得 f〞(xM)＝-x^{2Mf^-(xM)+2f(xM)}＝2f(xM)＝2M＞0. (与f〞(xM)＜0矛盾)故最大值M≤0. 同理可证最小值也必为0，所以f(x)在[a，b]上的最大值M和最小值m都必为零. 因为f(a)＝f(b)＝0，则f(x)在[a，b]上恒为零.

解析

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考研数学一

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