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f(x)在[a,b]上有二阶连续导数,且满足方程f〞(x)+x2fˊ(x)-2f(x)=0,证明:若f(a)=f(b)=0,则f(x)在[a,b]上恒为0.
f(x)在[a,b]上有二阶连续导数,且满足方程f〞(x)+x2fˊ(x)-2f(x)=0,证明:若f(a)=f(b)=0,则f(x)在[a,b]上恒为0.
admin
2013-01-07
40
问题
f(x)在[a,b]上有二阶连续导数,且满足方程f〞(x)+x
2
fˊ(x)-2f(x)=0,证明:若f(a)=f(b)=0,则f(x)在[a,b]上恒为0.
选项
答案
若最大值M>0,设f(xM)=M,xM∈(a,b). 则由费马定理得fˊ(xM)=0,又f(xM)为极大值. 则f〞(xM)<0,另由题设得 f〞(xM)=-x
2Mf
-
(xM)+2f(xM)
=2f(xM)=2M>0. (与f〞(xM)<0矛盾)故最大值M≤0. 同理可证最小值也必为0,所以f(x)在[a,b]上的最大值M和最小值m都必为零. 因为f(a)=f(b)=0,则f(x)在[a,b]上恒为零.
解析
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考研数学一
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