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[2004年] 设n阶矩阵A与B等价,则必有( ).
[2004年] 设n阶矩阵A与B等价,则必有( ).
admin
2021-01-25
43
问题
[2004年] 设n阶矩阵A与B等价,则必有( ).
选项
A、当|A|=a(a≠0)时,|B|=a
B、当|A|=a(a≠0)时,|B|=-a
C、当|A|≠0时,|B|=0
D、当|A|=0时,|B|=0
答案
D
解析
解一 因A与B等价,由命题2.2.5.4(1)知,仅(D)入选.(注:命题2.2.5.4 (1)矩阵等价的必要条件是矩阵的行列式同时为零或同时不为零.)
解二 因A与B等价,其秩必相等.当|A|=0时,秩(A)
秩(B),故(C)不成立.仅(D)入选.
解三 因A与B等价,由矩阵等价的必要条件知,存在可逆矩阵P与Q,使得A=PBQ.两边取行列式得|A|=|P||B||Q|,而|P|≠0,|Q|≠0,因而|A|与|B|同时为零或同时不为零.故当|A|=0时,必有|B|=0.仅(D)入选.
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考研数学三
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