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设A是n阶矩阵,齐次线性方程组Ax=0有两个线性无关的解,则( )
设A是n阶矩阵,齐次线性方程组Ax=0有两个线性无关的解,则( )
admin
2022-06-09
66
问题
设A是n阶矩阵,齐次线性方程组Ax=0有两个线性无关的解,则( )
选项
A、A
*
x=0的解均是Ax=0的解
B、Ax=0的解均是A
*
x=0的解
C、Ax=0与A
*
x=0无非零公共解
D、Ax=0与A
*
x=0恰好有一个非零公共解
答案
B
解析
由Ax=0有两个线性无关的解,知n-r(A)≥2,即r(A)≤n-2,从而A中n-1
阶子式全为0,故A
*
=0,所以A
*
=0有n-r(A
*
)=n个基础解,又AA
*
=A
*
A=
|A|E=0(因为A不可逆,所以|A|=0),所以由Ax=0,有A
*
Ax=0,即Ax=0的
解均是A
*
x=0的解,B正确,显然可排除A
对于Ax=0与Bx=0,当r(
521)≤r(A)+r(B)<n时,
x=0有非零解,故排除C
Ax=0与A
*
x=0恰有一个非零公共解,需要条件n-r(
)=1
故排除D
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考研数学二
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