f(x)在[－1，1]上三阶连续可导，且f(一1)＝0，f(1)＝1，f’(0)＝0．证明：存在ξ∈(一1，1)，使得f’’’(ξ)＝3．

admin2015-07-24 54

问题 f(x)在[－1，1]上三阶连续可导，且f(一1)＝0，f(1)＝1，f’(0)＝0．证明：存在ξ∈(一1，1)，使得f’’’(ξ)＝3．

选项

答案由泰勒公式得 [*] 两式相减得f’’’(ξ₁)＋f’’’(ξ₂)＝6．因为f(x)在[一1，1]上三阶连续可导，所以f’’’(x)在[ξ₁，ξ₂]上连续，由连续函数最值定理，f’’’(x)在[ξ₁，ξ₂]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f’’’(ξ₁)＋f’’’(ξ₂)≤2M，即m≤3≤M．由闭区间上连续函数介值定理，存在ξ∈[ξ₁，ξ₂][*](一1，1)，使得f’’’(ξ)＝3．

解析

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考研数学一

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