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设f(x)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,且f(x)≠0(1<x<2),又存在且非零,证明: 存在ξ∈(1,2),使得ln2/∫12f(t)dt=1/ξf(ξ).
设f(x)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,且f(x)≠0(1<x<2),又存在且非零,证明: 存在ξ∈(1,2),使得ln2/∫12f(t)dt=1/ξf(ξ).
admin
2021-10-18
78
问题
设f(x)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,且f(x)≠0(1<x<2),又
存在且非零,证明:
存在ξ∈(1,2),使得ln2/∫
1
2
f(t)dt=1/ξf(ξ).
选项
答案
令h(x)=lnx,F(x)=∫
1
x
f(t)dt,且F’(x)=f(x)≠0,由柯西中值定理,存在ξ∈(1,2),使得[h(2)-h(1)]/[F(2)-F(1)]=h’(ξ)/F’(ξ),即ln2/∫
1
2
f(t)dt=1/ξf(ξ).
解析
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考研数学二
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