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已知三阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零,矩阵B=(k为常数),且AB=O,求线性方程组Ax=0的通解。
已知三阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零,矩阵B=(k为常数),且AB=O,求线性方程组Ax=0的通解。
admin
2021-11-09
52
问题
已知三阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零,矩阵B=
(k为常数),且AB=O,求线性方程组Ax=0的通解。
选项
答案
由AB=O知,B的每一列均是Ax=0的解,且r(A)+r(B)≤3。 若k≠9,则r(B)=2,于是r(A)≤l,显然r(A)≥1,故r(A)=1。可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3一r(A)=2,矩阵B的第一列、第三列线性无关,可作为其基础解系,故 Ax=0的通解为:x=k
1
(1,2,3)
T
+k
2
(3,6,k)
T
,k
1
,k
2
为任意常数。 若k=9,则r(B)=1,从而1≤r(A)≤2。 ①若r(A)=2,则Ax=0的通解为:x=k
1
(1,2,3)
T
,k
1
为任意常数。 ②若r(A)=1,则Ax=0的同解方程组为:ax
1
+bx
2
+cx
3
=0,不妨设a≠0,则其通解为 x=k
1
([*],1,0)
T
+k
2
([*],0,1)
T
,k
1
,k
2
为任意常数。
解析
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考研数学二
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