设随机变量X1和X2相互独立同分布(方差大于零)，令 X＝X1＋aX2，Y＝X1＋bX1(a，b均不为零)．如果X与Y不相关，则( )．

admin2020-06-20 49

问题设随机变量X₁和X₂相互独立同分布(方差大于零)，令
X＝X₁＋aX₂，Y＝X₁＋bX₁(a，b均不为零)．
如果X与Y不相关，则( )．

选项 A、a与b可以是任意实数
B、a和b一定相等
C、a和b互为负倒数
D、a和b互为倒数

答案C

解析利用X和Y不相关的充要条件判别之．
X与Y不相关的充分必要条件是p_XY＝0，即cov(X，Y)＝0．
cov(X，Y)＝cov(X₁＋aX₂，X₁＋bX₂)
＝D(X₁)＋(a＋b)cov(X₁，X₂)＋abD(X₂)．
由于X₁与X₂独立同分布，有
cov(X₁，X₂)＝0，且D(X₁)＝D(X₂)．
于是 cov(X，Y)＝0

(1＋ab)D(X₁)＝0

1＋ab＝0

ab＝一1，因而a与b互为负倒数．仅(C)入选．

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