2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，又g(x)在[a，b]上连续，求证：存在ξ∈(a，b)使得f’(ξ)=g(ξ)f(ξ)．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，又g(x)在[a，b]上连续，求证：存在ξ∈(a，b)使得f’(ξ)=g(ξ)f(ξ)．

admin2019-03-12  55
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，又g(x)在[a，b]上连续，求证：存在ξ∈(a，b)使得f’(ξ)=g(ξ)f(ξ)．
选项
答案设∫g(x)dx是g(x)的某个原函数，并令R(x)=e-∫g(x)dx，作辅助函数F(x)=R(x)f(x)，对F(x)在[a，b]上用罗尔定理，即知本题结论成立．
解析 注意对任何ξ∈(a，b)，
    f’(ξ)=g(ξ)f(ξ)f’(ξ)-g(ξ)f(ξ)=0
    [f’(x)-g(x)f(x)]｜x=ξ=0
    [R(x)f’(x)-R(x)g(x)f(x)]｜x=ξ=0
    [R(x)f(x)]’｜x=ξ=0，
其中R(x)是在[a．b]上连续，在(a，b)内可导，而且当x∈(a，b)时满足如下条件的任一函数：
    R’(x)=-R(x)g(x)，又R(x)≠0．
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考研数学三

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