设向量β可由向量组α1,α2,…,αm线性表示,但不能由向量组(I):α1,α2,…,αm-1线性表示,记向量组(Ⅱ):α1,α2,…,αm-1,β,则( ).

admin2020-09-25  59

问题 设向量β可由向量组α1,α2,…,αm线性表示,但不能由向量组(I):α1,α2,…,αm-1线性表示,记向量组(Ⅱ):α1,α2,…,αm-1,β,则(    ).

选项 A、αm不能由(I)线性表示,也不能由(Ⅱ)线性表示
B、αm不能由(I)线性表示,但可由(Ⅱ)线性表示
C、αm可由(I)线性表示,也可由(Ⅱ)线性表示
D、αm可由(I)线性表示,不可由(Ⅱ)线性表示

答案B

解析 因为β可由向量组α1,α2,…,αm线性表示,从而可得存在k1,k2,…,km使得我们有km≠0.否则,从而可知β可由α1,…,αm-1线性表示,矛盾.由于km≠0,所以αm=,从而可知αm可由α1,α2,…,αm-1,β线性表示.
所以选项A,D不对.
下证αm不能由(I)线性表示,否则,若

所以β可由α1,α2,…,αm-1线性表示,矛盾.从而可得αm不能由(I)线性表示.故选B。
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