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设随机变量X的概率密度为 令Y=X2,F(χ,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数.求 (Ⅰ)Y的概率密度FY(y); (Ⅱ)Cov(X,Y); (Ⅲ)F(-,4).
设随机变量X的概率密度为 令Y=X2,F(χ,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数.求 (Ⅰ)Y的概率密度FY(y); (Ⅱ)Cov(X,Y); (Ⅲ)F(-,4).
admin
2019-03-19
56
问题
设随机变量X的概率密度为
令Y=X
2
,F(χ,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数.求
(Ⅰ)Y的概率密度F
Y
(y);
(Ⅱ)Cov(X,Y);
(Ⅲ)F(-
,4).
选项
答案
(Ⅰ)Y的分布函数为F
y
(y)=P(Y≤y)=P(X
2
≤y) y≤0时,F
Y
(y)=0,∴f
Y
(y)=F′
Y
(y)=0; y>0时,F
Y
(y)=[*] 若[*]<1即0<y<1时,F
Y
(y)=[*] ∴.f
Y
(y)=F′
Y
(y)=[*] 若1≤[*]<2即1≤y<4时,F
Y
(y)=[*] ∴f
Y
(y)=F′
Y
(y)=[*] 若[*]≥2即y≥4时,F
Y
(y)=[*]=1,∴f
Y
(y)=F′
Y
(y)=0,故 [*] (Ⅱ)cov(X,Y)=cov(X,X
2
)=E(X
3
)-EX.E(X
2
),而 [*] 代入得cov(X,Y)=[*] (Ⅲ)F(-[*],4)=P(X≤-[*],Y≤4)=P(X≤-[*],X
2
≤4)=P(X≤-[*],|X|≤2) =P(X≤-[*],-2≤X≤2)=P(-2≤X≤-[*]) [*]
解析
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考研数学三
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