2. 考研
  3. 设A是一个n阶矩阵，先交换A的第i列与第j列，然后再交换第i行与第j行得到的矩阵记为B，则下列五个关系： (1)｜A｜=｜B｜； (2)r(A)=r(B)； (3)A≌B； (4)A～B； (5)AB 中正确的有( )．

设A是一个n阶矩阵，先交换A的第i列与第j列，然后再交换第i行与第j行得到的矩阵记为B，则下列五个关系： (1)｜A｜=｜B｜； (2)r(A)=r(B)； (3)A≌B； (4)A～B； (5)AB 中正确的有( )．

admin2016-11-03  9
问题 设A是一个n阶矩阵，先交换A的第i列与第j列，然后再交换第i行与第j行得到的矩阵记为B，则下列五个关系：
(1)｜A｜=｜B｜；  (2)r(A)=r(B)；  (3)A≌B；  (4)A～B；  (5)AB
中正确的有(  )．
选项 A、(1)，(2)
B、(1)，(2)，(3)
C、(1)，(3)，(5)
D、(1)，(2)，(3)，(4)，(5)
答案D
解析 由题设有EijAEij=B，Eij有些什么性质呢?
(1)｜Eij｜=－1，因而｜Eij｜｜Eij｜=1，故
｜Eij｜｜A｜｜Eij｜=｜B｜，  即 ｜A｜=｜B｜．
(2)因｜Eij｜≠0，故Eij可逆，所以r(EijA)=r(A)，r(AEij)=r(A)，故
r(B)=r(EijAEij)=r(AEij)=r(A)．
(3)由EijAEij=B说明了A≌B(A与B等价)．
(4)因=Eij，故EijAEij=AEij=B，所以A～B(A与B相似)．
(5)因Eij=，故EijAEij=AEij=B，所以AB(A与B合同)．
因此，选项(D)正确．
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