设A是一个n阶矩阵，先交换A的第i列与第j列，然后再交换第i行与第j行得到的矩阵记为B，则下列五个关系： (1)｜A｜=｜B｜； (2)r(A)=r(B)； (3)A≌B； (4)A～B； (5)AB 中正确的有( )．

admin2016-11-03 13

问题设A是一个n阶矩阵，先交换A的第i列与第j列，然后再交换第i行与第j行得到的矩阵记为B，则下列五个关系：
(1)｜A｜=｜B｜； (2)r(A)=r(B)； (3)A≌B； (4)A～B； (5)A

B
中正确的有( )．

选项 A、(1)，(2)
B、(1)，(2)，(3)
C、(1)，(3)，(5)
D、(1)，(2)，(3)，(4)，(5)

答案D

解析由题设有E_ijAE_ij=B，E_ij有些什么性质呢?
(1)｜E_ij｜=－1，因而｜E_ij｜｜E_ij｜=1，故
｜E_ij｜｜A｜｜E_ij｜=｜B｜，即｜A｜=｜B｜．
(2)因｜E_ij｜≠0，故E_ij可逆，所以r(E_ijA)=r(A)，r(AE_ij)=r(A)，故
r(B)=r(E_ijAE_ij)=r(AE_ij)=r(A)．
(3)由E_ijAE_ij=B说明了A≌B(A与B等价)．
(4)因