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已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1:ax+2by+3c=0 l2:bx+2cy+3a=0 l3:cx+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1:ax+2by+3c=0 l2:bx+2cy+3a=0 l3:cx+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
admin
2018-07-27
44
问题
已知平面上三条不同直线的方程分别为
l
1
:ax+2by+3c=0
l
2
:bx+2cy+3a=0
l
3
:cx+2ay+3b=0
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
选项
答案
考虑由三直线方程联立所得线性方程组 [*] 则三直线交于一点[*])=2,其中 [*] 必要性 由r([*]|=3(a+b+c)[(a-b)
2
+(b-c)
2
+(c-a)
2
]=0,又a、b、c不全相等(否则三直线重合,从而有无穷多交点,与必要性假定交于一点矛盾),[*]a+b+c=0. 充分性 若a+b+c=0,由必要性证明知|[*])<3.又系数矩阵A中有一个2阶子式 [*] 方程组(*)有惟一解,即三直线交于一点.
解析
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考研数学三
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