已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1：ax+2by+3c=0 l2：bx+2cy+3a=0 l3：cx+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．

admin2018-07-27 52

问题已知平面上三条不同直线的方程分别为
l₁：ax+2by+3c=0
l₂：bx+2cy+3a=0
l₃：cx+2ay+3b=0
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．

选项

答案考虑由三直线方程联立所得线性方程组 [*] 则三直线交于一点[*])=2，其中 [*] 必要性由r([*]|=3(a+b+c)[(a－b)²+(b－c)²+(c－a)²]=0，又a、b、c不全相等(否则三直线重合，从而有无穷多交点，与必要性假定交于一点矛盾)，[*]a+b+c=0．充分性若a+b+c=0，由必要性证明知|[*])＜3．又系数矩阵A中有一个2阶子式 [*] 方程组(*)有惟一解，即三直线交于一点．

解析

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考研数学三

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