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设α1，α2，…，αr和β1，β2，…，βs是两个线性无关的n维向量．证明：向量组{α1，α2，…，αr；β1，β2，…，βs}线性相关存在非零向量r，它既可用α，α，…，αr线性表示，又可用β1，β2，…，βs线性表示．
设α1，α2，…，αr和β1，β2，…，βs是两个线性无关的n维向量．证明：向量组{α1，α2，…，αr；β1，β2，…，βs}线性相关存在非零向量r，它既可用α，α，…，αr线性表示，又可用β1，β2，…，βs线性表示．
admin
2016-10-21
36
问题
设α
1
，α
2
，…，α
r
和β
1
，β
2
，…，β
s
是两个线性无关的n维向量．证明：向量组{α
1
，α
2
，…，α
r
；β
1
，β
2
，…，β
s
}线性相关
存在非零向量r，它既可用α，α，…，α
r
线性表示，又可用β
1
，β
2
，…，β
s
线性表示．
选项
答案
“[*]”因为{α
1
，α
2
，…，α
r
；β
1
，β
2
，…，β
s
}线性相关，所以存在c
1
，c
2
，…，c
r
，c
r+1
，…，c
r+s
不全为0，使得 c
1
α
1
＋c
2
α
2
＋…＋c
r
α
r
＋c
r+1
β
1
＋c
r+2
β
2
＋…＋c
r+s
β
s
＝0 记γ＝c
1
α
1
＋c
2
α
2
＋…＋c
r
α
r
＝－(c
r+1
β
1
＋c
r+2
β
2
＋…＋c
r+s
β
s
)， 则γ≠0(否则由α
1
，α
2
，…，α
r
，和β
1
，β
2
，…，β
s
都线性无关，推出c
1
，c
2
，…，c
r
，c
r+1
，…，c
r+s
全为0)，并且它既可用α
1
，α
2
，…，α
r
表示，又可用β
1
，β
2
，…，β
s
表示． “[*]”设γ≠0，它既可用α
1
，…，α
r
表示，又可用β
1
，…，β
s
表示． 记γ＝c
1
α
1
＋c
2
α
2
＋…＋c
r
α
s
＝t
1
β
1
＋t
2
β
2
＋…＋t
s
β
s
，则c
1
，c
2
，…，c
r
和t
1
，t
2
，…，t
s
都不全为0，而 c
1
α
1
＋c
2
α
2
＋…＋c
r
α
s
－t
1
β
1
－t
2
β
2
－…－t
s
β
s
＝0． 根据定义，{α
1
，α
2
，…，α
r
；β
1
，β
2
，…，β
s
}线性相关．
解析
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考研数学二
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