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设A是3阶实对称矩阵,满足A2+2A=0,并且r(A)=2. (1)求A的特征值. (2)当实数k满足什么条件时A+kE正定?
设A是3阶实对称矩阵,满足A2+2A=0,并且r(A)=2. (1)求A的特征值. (2)当实数k满足什么条件时A+kE正定?
admin
2021-11-09
55
问题
设A是3阶实对称矩阵,满足A
2
+2A=0,并且r(A)=2.
(1)求A的特征值.
(2)当实数k满足什么条件时A+kE正定?
选项
答案
(1)因为A是实对称矩阵,所以A的特征值都是实数. 假设A是A的一个特征值,则λ
2
+2λ是A
2
+2A的特征值.而A
2
+2A=0,因此λ
2
+2λ=0,故λ=0或-2.又因为r(A-0E)=r(A)=2,特征值0的重数为3-r(A-0E)=1,所以-2是A的二重特征值.A的特征值为0,-2,-2. (2)A+kE的特征值为k,k-2,k-2.于是当k>2时,实对称矩阵A+kE的特征值全大于0,从而A+kE是正定矩阵.当k≤2时,A+kE的特征值不全大于0,此时A+kE不正定.
解析
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考研数学二
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