2. 考研
  3. 已知A=(α1，α2，α3，α4)，非齐次线性方程组Ax=b的通解为(1，1，1，1)T+k1(1，0，2，1)T+k2(2，1，1，-1)T． B=(α1，α2，α3)，求Bx=b的通解；

已知A=(α1，α2，α3，α4)，非齐次线性方程组Ax=b的通解为(1，1，1，1)T+k1(1，0，2，1)T+k2(2，1，1，-1)T． B=(α1，α2，α3)，求Bx=b的通解；

admin2019-08-27  136
问题 已知A=(α1，α2，α3，α4)，非齐次线性方程组Ax=b的通解为(1，1，1，1)T+k1(1，0，2，1)T+k2(2，1，1，-1)T．
B=(α1，α2，α3)，求Bx=b的通解；
选项
答案先求Bx=0的基础解系，为此，首先要找出矩阵B的秩． 由题目的已知信息可得：Ax=0的基础解系中含有两个向量，故4一R(A)=2，也即R(A)=2，而由(1，0，2，1)T是Ax=0的解可得α1+2α3+α4=0，故α4=-α1一2α3． 可知α4能由α1，α2，α3线性表示，故R(α1，α2，α3，α4)=R(α1，α2，α3)=R(B)，也即R(B)=2． 因此，Bx=0的基础解系中仅含一个向量，求出Bx=0的任一非零解即为其基础解系． 由于(1，0，2，1)T，(2，1，1，-1)T均为Ax=0的解，故它们的和(3，1，3，0)T也为Ax=0的解，可知3α1+α2+3α3=0，因此(3，1，3)T为Bx=0的解，也即(3，1，3)T为Bx=0的基础解系． 最后，再求Bx=b的任何一个特解即可．只需使得Ax=b的通解中α1的系数为0即可． 为此，令(1，1，1，1)T+k1(1，0，2，1)T+k2(2，1，1，-1)T中k1=0，k2=1，得(3，2，2，0)T是Ax=b的一个解，故(3，2，2)T是Bx=b的一个解． 可知Bx=b的通解为(3，2，2)T+k(3，1，3)T，k∈R．
解析 【思路探索】对于抽象型线性方程组，通常利用解的结构求解．
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考研数学二

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