设αi=(αi1，αi2，…，αin)T(i=1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关．已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组的非零解向量，试判断向量组α1，…，αr，β的线性相关性．

admin2017-07-10 47

问题设α_i=(α_i1，α_i2，…，α_in)^T(i=1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α₁，α₂，…，α_r线性无关．已知β=(b₁，b₂，…，b_n)^T是线性方程组

的非零解向量，试判断向量组α₁，…，α_r，β的线性相关性．

选项

答案线性无关．证明如下：由题设条件有b₁a₁₁+b₂a_i2+…+b_na_m=β^Tα₁=0(i=1，2，…，r)，设k₁α₁+…+k_rα_r，+ k_r+1β=0，用β^T左乘两端并利用β^Tα_i=0及β^Tp=||β||²＞0，得k_r+1=0，[*]k₁α₁+…+k_rα_r=0，又α_r，…，α_r线性无关，[*]k₁=…=k_r=0．故α₁，…，α_r，β线性无关．

解析

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考研数学二

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设αi=(αi1，αi2，…，αin)T(i=1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关．已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组的非零解向量，试判断向量组α1，…，αr，β的线性相关性．

考研数学二

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