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  3. 已知曲线积(A为常数)，其中φ(y)具有连续的导数，且φ(1)=1．L是围绕原点O (0，0)的任意分段光滑简单正向闭曲线． 求函数φ(y)的表达式，及常数A的值．

已知曲线积(A为常数)，其中φ(y)具有连续的导数，且φ(1)=1．L是围绕原点O (0，0)的任意分段光滑简单正向闭曲线． 求函数φ(y)的表达式，及常数A的值．

admin2017-05-31  105
问题 已知曲线积(A为常数)，其中φ(y)具有连续的导数，且φ(1)=1．L是围绕原点O (0，0)的任意分段光滑简单正向闭曲线．
求函数φ(y)的表达式，及常数A的值．
选项
答案设[*]且P、Q在单连通区域x＞0内具有连续的偏导数，由上一题知，曲线积分[*]在该区域内与路径无关，故当x＞0时，总有 [*] 于是，xφ(x)=2φ(x)．这是可分离变量的微分方程．解微分方程，得φ(x)=cx2．由条件φ(1)=1，得c=1，从而φ(x)=x2． 由于曲线积分与路径无关，故可取闭曲线L：x2+y2=1．根据格林公式，得[*]
解析 证明第一题的关键是如何将封闭曲线C与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将C进行分解讨论；而第二题中求φ(y)的表达式，显然应用曲线积分与路径无关即可．
本题难度较大，关键是如何将待求解的问题转化为可利用已知条件的情形．
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考研数学一

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