计算二重积分I=∫01dx

admin2022-04-10 39

问题计算二重积分I=∫₀¹dx

选项 A、π²/32
B、一π²/32
C、π/16
D、π/4

答案A

解析由所给的二次积分易求出其积分区域如下图所示，由于积分区域为圆域的一部分，且被积函数又为f(x²+y²)，应使用极坐标求此二重积分．
所给曲线为(y+1)²+x²=1的上半圆周，区域D如右图所示，其直角坐标方程为
(y+1)²+x²≤1，即 y²+x²≤一2y，

将x=rcosθ，y=rsinθ代入得到极坐标系下的方程
r²≤一2rsinθ，即r≤一2sinθ．
于是 D={ (r，θ) |一π/4≤θ≤0，0≤r≤一2sinθ}，
则

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