2. 考研
  3. 已知α=(1，4，0，2)T，α=(2，7，1，3)T，α=(0，1，一1，α)T，β=(3，10，b，4)T，问(1)a，b取何值时，β不能由α1,α2,α3线性表出?(2)a，b取何值时，β可由α1,α2,α3线性表出?并写出此表示式．

已知α=(1，4，0，2)T，α=(2，7，1，3)T，α=(0，1，一1，α)T，β=(3，10，b，4)T，问(1)a，b取何值时，β不能由α1,α2,α3线性表出?(2)a，b取何值时，β可由α1,α2,α3线性表出?并写出此表示式．

admin2017-12-23  24
问题 已知α=(1，4，0，2)T，α=(2，7，1，3)T，α=(0，1，一1，α)T，β=(3，10，b，4)T，问(1)a，b取何值时，β不能由α1,α2,α3线性表出?(2)a，b取何值时，β可由α1,α2,α3线性表出?并写出此表示式．
选项
答案考虑线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=β，对增广矩阵进行初等行变换： [*] 从而(1)当b≠2时，线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=β无解，这时β不能由α1,α2,α3线性表出． (2)当b=2，a≠1时，线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=β有唯一解x=(x1，x2，x3)T=(一1，2，0)T，β可由α1,α2,α3唯一地线性表出，且表示式为β=一α1+2α2． 当b=2，a=2时，线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=β有无穷多解x=(x1，x2，x3)T=k(一2，1，1)T+(一1，2，0)T，其中k为任意常数． 此时β可由α1,α2,α3线性表出，且表示式不唯一，表示式为β=一(2k+1)α1+(k+2)α2+kα3．
解析 本题考查向量的线性表示．要求考生掌握向量β可由向量组α1,α2……αm线性表示的充分必要条件是线性方程组x1α1+x2α2+…+xmαm=β有解，不能表示是线性方程组x1α1+x2α2+…+xmαm=β无解．
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考研数学二

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