已知α=(1,4,0,2)T,α=(2,7,1,3)T,α=(0,1,一1,α)T,β=(3,10,b,4)T,问(1)a,b取何值时,β不能由α1,α2,α3线性表出?(2)a,b取何值时,β可由α1,α2,α3线性表出?并写出此表示式.

admin2017-12-23  22

问题 已知α=(1,4,0,2)T,α=(2,7,1,3)T,α=(0,1,一1,α)T,β=(3,10,b,4)T,问(1)a,b取何值时,β不能由α123线性表出?(2)a,b取何值时,β可由α123线性表出?并写出此表示式.

选项

答案考虑线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=β,对增广矩阵进行初等行变换: [*] 从而(1)当b≠2时,线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=β无解,这时β不能由α123线性表出. (2)当b=2,a≠1时,线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=β有唯一解x=(x1,x2,x3)T=(一1,2,0)T,β可由α123唯一地线性表出,且表示式为β=一α1+2α2. 当b=2,a=2时,线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=β有无穷多解x=(x1,x2,x3)T=k(一2,1,1)T+(一1,2,0)T,其中k为任意常数. 此时β可由α123线性表出,且表示式不唯一,表示式为β=一(2k+1)α1+(k+2)α2+kα3

解析 本题考查向量的线性表示.要求考生掌握向量β可由向量组α12……αm线性表示的充分必要条件是线性方程组x1α1+x2α2+…+xmαm=β有解,不能表示是线性方程组x1α1+x2α2+…+xmαm=β无解.
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