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已知α=(1,4,0,2)T,α=(2,7,1,3)T,α=(0,1,一1,α)T,β=(3,10,b,4)T,问(1)a,b取何值时,β不能由α1,α2,α3线性表出?(2)a,b取何值时,β可由α1,α2,α3线性表出?并写出此表示式.
已知α=(1,4,0,2)T,α=(2,7,1,3)T,α=(0,1,一1,α)T,β=(3,10,b,4)T,问(1)a,b取何值时,β不能由α1,α2,α3线性表出?(2)a,b取何值时,β可由α1,α2,α3线性表出?并写出此表示式.
admin
2017-12-23
20
问题
已知α=(1,4,0,2)
T
,α=(2,7,1,3)
T
,α=(0,1,一1,α)
T
,β=(3,10,b,4)
T
,问(1)a,b取何值时,β不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表出?(2)a,b取何值时,β可由α
1
,α
2
,α
3
线性表出?并写出此表示式.
选项
答案
考虑线性方程组x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
=β,对增广矩阵进行初等行变换: [*] 从而(1)当b≠2时,线性方程组x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
=β无解,这时β不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表出. (2)当b=2,a≠1时,线性方程组x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
=β有唯一解x=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
=(一1,2,0)
T
,β可由α
1
,α
2
,α
3
唯一地线性表出,且表示式为β=一α
1
+2α
2
. 当b=2,a=2时,线性方程组x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
=β有无穷多解x=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
=k(一2,1,1)
T
+(一1,2,0)
T
,其中k为任意常数. 此时β可由α
1
,α
2
,α
3
线性表出,且表示式不唯一,表示式为β=一(2k+1)α
1
+(k+2)α
2
+kα
3
.
解析
本题考查向量的线性表示.要求考生掌握向量β可由向量组α
1
,α
2
……α
m
线性表示的充分必要条件是线性方程组x
1
α
1
+x
2
α
2
+…+x
m
α
m
=β有解,不能表示是线性方程组x
1
α
1
+x
2
α
2
+…+x
m
α
m
=β无解.
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考研数学二
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