设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，a2=6，a3=11，且(5n—8)Sn+1一(5n+2)Sn=An+B，n=1、2、3…，其中A，B为常数， (1)求A与B的值； (2)证明：数列{an}为等差数列； (3)证明：不

admin2017-01-14 23

问题设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，a₂=6，a₃=11，且(5n—8)S_n+1一(5n+2)S_n=An+B，n=1、2、3…，其中A，B为常数，
(1)求A与B的值；
(2)证明：数列{a_n}为等差数列；
(3)证明：不等式

＞1对任何正整数m、n都成立．

选项

答案依题意有S₁=a₁—1，S₂=a₁+a₂=7，S₃=a₁+a₂+a₃=18．因为(5n一8)S_n+1一(5n+2)S_n=An+B，所以[*] 所以A=一20，B=一8． (2)证明：由(1)得(5n一8)S_n+1一(5n+2)S_n=一20n一8①，所以(5n一3)S_n+2一(5n+7)S_n+1=一20n一28②． ②一①得：(5n—3)S_n+2一(10n一1)S_n+1+(5n+2)S_n=一20③，所以(5n+2)S_n+3一(10n+9)S_n+2+(5n+7)S_n+1=一20④． ④一③得：(5n+2)S_n+3一(15n+6)S_n+2+(15n+6)S_n+1一(5n+2)S_n=0⑤．又因为a_n+1=S_n+1—S_n，所以由⑤有(5n+2)a_n+3一(10n+4)a_n+2+(5n+2)a_n+1=0．因为5n+24=0，所以a_n+3—2a_n+2+a_n+1=0．所以a_n+3一a_n+2=a_n+2一a_n+3，n≥1，又因为a₃一a₂=a₂一a₁=5，所以数列{a_n}是首项为1，公差为5的等差数列． (3)证明：由(2)知，a_n=1+5(n一1)=5n—4， [*]

解析

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