2. 公务员
  3. 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，a2=6，a3=11，且(5n—8)Sn+1一(5n+2)Sn=An+B，n=1、2、3…，其中A，B为常数， (1)求A与B的值； (2)证明：数列{an}为等差数列； (3)证明：不

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，a2=6，a3=11，且(5n—8)Sn+1一(5n+2)Sn=An+B，n=1、2、3…，其中A，B为常数， (1)求A与B的值； (2)证明：数列{an}为等差数列； (3)证明：不

admin2017-01-14  71
问题 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，a2=6，a3=11，且(5n—8)Sn+1一(5n+2)Sn=An+B，n=1、2、3…，其中A，B为常数，
    (1)求A与B的值；
    (2)证明：数列{an}为等差数列；
    (3)证明：不等式＞1对任何正整数m、n都成立．
选项
答案依题意有S1=a1—1，S2=a1+a2=7，S3=a1+a2+a3=18． 因为(5n一8)Sn+1一(5n+2)Sn=An+B， 所以[*] 所以A=一20，B=一8． (2)证明：由(1)得(5n一8)Sn+1一(5n+2)Sn=一20n一8①， 所以(5n一3)Sn+2一(5n+7)Sn+1=一20n一28②． ②一①得：(5n—3)Sn+2一(10n一1)Sn+1+(5n+2)Sn=一20③， 所以(5n+2)Sn+3一(10n+9)Sn+2+(5n+7)Sn+1=一20④． ④一③得：(5n+2)Sn+3一(15n+6)Sn+2+(15n+6)Sn+1一(5n+2)Sn=0⑤． 又因为an+1=Sn+1—Sn， 所以由⑤有(5n+2)an+3一(10n+4)an+2+(5n+2)an+1=0． 因为5n+24=0， 所以an+3—2an+2+an+1=0． 所以an+3一an+2=an+2一an+3，n≥1， 又因为a3一a2=a2一a1=5， 所以数列{an}是首项为1，公差为5的等差数列． (3)证明：由(2)知，an=1+5(n一1)=5n—4， [*]
解析
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