设f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3),讨论驻点的个数与范围.

admin2022-06-08  28

问题 设f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3),讨论驻点的个数与范围.

选项

答案使f’(x)=0的点为f(x)的驻点.若直接求f’(x),再判定f’(x)=0的点很复杂.由于 f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3), 因此f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=0.f(x)在[0,1],[1,2],[2,3]上满足罗尔定理,由罗尔定理可知至少有点ξ1∈(0,1),ξ2∈(1,2),ξ3∈(2,3),满足 f’(ξ1)=0,f’(ξ2)=0,f’(ξ3)=0. 即f(x)有驻点ξ1,ξ2,ξ3.又由于f(x)为四次多项式,其导函数为三次多项式,三次方程至多有三个实根,综之,f(x)有且仅有三个驻点,分别位于(0,1),(1,2),(2,3)内.

解析
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