设f(x)=x(x－1)(x－2)(x－3)，讨论驻点的个数与范围．

admin2022-06-08 51

问题设f(x)=x(x－1)(x－2)(x－3)，讨论驻点的个数与范围．

选项

答案使f’(x)=0的点为f(x)的驻点．若直接求f’(x)，再判定f’(x)=0的点很复杂．由于 f(x)=x(x－1)(x－2)(x－3)，因此f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=0．f(x)在[0，1]，[1，2]，[2，3]上满足罗尔定理，由罗尔定理可知至少有点ξ₁∈(0，1)，ξ₂∈(1，2)，ξ₃∈(2，3)，满足 f’(ξ₁)=0，f’(ξ₂)=0，f’(ξ₃)=0．即f(x)有驻点ξ₁，ξ₂，ξ₃．又由于f(x)为四次多项式，其导函数为三次多项式，三次方程至多有三个实根，综之，f(x)有且仅有三个驻点，分别位于(0，1)，(1，2)，(2，3)内．

解析

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