设A、B均为n阶矩阵,且AB=A一B,A有n个互不相同的特征值λ1,λ2,…,λn,证明: (1)λi≠一1(i=1,2,…,n); (2) AB=BA; (3)A的特征向量都是B的特征向量; (4)B可相似对角化.

admin2017-04-23  35

问题 设A、B均为n阶矩阵,且AB=A一B,A有n个互不相同的特征值λ1,λ2,…,λn,证明:
(1)λi≠一1(i=1,2,…,n);
(2) AB=BA;
(3)A的特征向量都是B的特征向量;
(4)B可相似对角化.

选项

答案(1)即证|一E一A|≠0,或|E+A|≠0或E+A可逆,这可由AB=A一B[*]A+E)(E—B)= E,[*]A+E可逆,且(A+E)一1=E一B. (2)由(1)的(A+E)*=E一B,[*](A+E)(E—B)=(E—B)(A+E),即A一AB+E一B=A+E一BA一B[*]AB=BA. (3)设x为A的属于特征值λi的特征向量,则Ax=λix,两端左乘B,并利用BA=AB,得A(Bx)=λi(Bx),若Bx≠0,则Bx亦为A的属于λi的特征向量,因属于λi的特征子空间是一维的,故存在常数μ,使Bx=μx,因此x也是B的特征向量;若Bx=0,则Bx=0x,x也是B的属于特征值0的特征向量. (4)由条件知A有n个线性无关的特征向量,于是由(3)知B也有n个线性无关的特征向量,故B相似于对角矩阵.

解析
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