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n阶矩阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的( )
n阶矩阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的( )
admin
2019-07-12
51
问题
n阶矩阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的( )
选项
A、充分必要条件.
B、充分而非必要条件.
C、必要而非充分条件.
D、既非充分也非必要条件.
答案
A
解析
若A~A=
,则有可逆矩阵P使P
-1
AP=A,或AP=PA.令P=[γ
1
,γ
2
,…,γ
n
],即
A[γ
1
,γ
2
,…,γ
n
]=[γ
1
,γ
2
,…,γ
2
]
=[a
1
γ
1
,a
2
γ
2
,…,a
n
γ
n
]
从而有Aγ
i
=a
i
γ
i
, i=1,2,…,n
由P可逆,即有γ
i
≠0,且γ
1
,γ
2
,…,γ
n
线性无关.根据定义可知γ
1
,γ
2
,…,γ
n
是A的n个线性无关的特征向量.
反之,若A有n个线性无关的特征向量α
1
,α
2
,…,α
n
,且满足
Aα
i
=λ
i
α
i
, i=l,2,…,n
那么,用分块矩阵有
由于矩阵P=(α
1
,α
2
,…,α
N
)可逆,所以P
-1
AP=A,即A与对角矩阵A相似.所以应选A.
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考研数学三
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