n阶矩阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的( )

admin2019-07-12  34

问题 n阶矩阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的(    )

选项 A、充分必要条件.
B、充分而非必要条件.
C、必要而非充分条件.
D、既非充分也非必要条件.

答案A

解析 若A~A=,则有可逆矩阵P使P-1AP=A,或AP=PA.令P=[γ1,γ2,…,γn],即
A[γ1,γ2,…,γn]=[γ1,γ2,…,γ2]=[a1γ1,a2γ2,…,anγn]
从而有Aγi=aiγi,    i=1,2,…,n
由P可逆,即有γi≠0,且γ1,γ2,…,γn线性无关.根据定义可知γ1,γ2,…,γn是A的n个线性无关的特征向量.
    反之,若A有n个线性无关的特征向量α1,α2,…,αn,且满足
    Aαiiαi,    i=l,2,…,n
那么,用分块矩阵有

由于矩阵P=(α1,α2,…,αN)可逆,所以P-1AP=A,即A与对角矩阵A相似.所以应选A.
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