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  3. n阶矩阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的( )

n阶矩阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的( )

admin2019-07-12  49
问题 n阶矩阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的(    )
选项 A、充分必要条件．
B、充分而非必要条件．
C、必要而非充分条件．
D、既非充分也非必要条件．
答案A
解析 若A～A=，则有可逆矩阵P使P-1AP=A，或AP=PA．令P=[γ1，γ2，…，γn]，即
A[γ1，γ2，…，γn]=[γ1，γ2，…，γ2]=[a1γ1，a2γ2，…，anγn]
从而有Aγi=aiγi，    i=1，2，…，n
由P可逆，即有γi≠0，且γ1，γ2，…，γn线性无关．根据定义可知γ1，γ2，…，γn是A的n个线性无关的特征向量．
    反之，若A有n个线性无关的特征向量α1，α2，…，αn，且满足
    Aαi=λiαi，    i=l，2，…，n
那么，用分块矩阵有

由于矩阵P=(α1，α2，…，αN)可逆，所以P-1AP=A，即A与对角矩阵A相似．所以应选A．
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考研数学三

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