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已知圆M:x2+(y一2)2=1,直线l:y=一1,动圆P与圆M相外切,且与直线l相切。设动圆圆心P的轨迹为E。 (1)求E的方程; (2)若点A,B是E上的两个动点,O为坐标原点,且=一16,求证:直线AB恒过定点。
已知圆M:x2+(y一2)2=1,直线l:y=一1,动圆P与圆M相外切,且与直线l相切。设动圆圆心P的轨迹为E。 (1)求E的方程; (2)若点A,B是E上的两个动点,O为坐标原点,且=一16,求证:直线AB恒过定点。
admin
2019-05-05
35
问题
已知圆M:x
2
+(y一2)
2
=1,直线l:y=一1,动圆P与圆M相外切,且与直线l相切。设动圆圆心P的轨迹为E。
(1)求E的方程;
(2)若点A,B是E上的两个动点,O为坐标原点,且
=一16,求证:直线AB恒过定点。
选项
答案
(1)设动圆的圆心为P(a,b), 则P到直线y=一1的距离b+1为圆P的半径, 两圆的圆心距为[*], 列方程得b+1+1=[*], 化简得a
2
=8b。 则点P的轨迹E为x
2
=8y。 (2)证明:[*] 计算可得x
1
x
2
=一32。 设直线AB的方程为y=kx+t, 与抛物线x
2
=8y联立得[*]一kx一t=0, 则x
1
x
2
=一8t=一32,t=4。 因此直线AB恒过点(0,4)。
解析
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