已知圆M：x2+(y一2)2=1，直线l：y=一1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切。设动圆圆心P的轨迹为E。 (1)求E的方程； (2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且=一16，求证：直线AB恒过定点。

admin2019-05-05 39

问题已知圆M：x²+(y一2)²=1，直线l：y=一1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切。设动圆圆心P的轨迹为E。
(1)求E的方程；
(2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且

=一16，求证：直线AB恒过定点。

选项

答案(1)设动圆的圆心为P(a，b)，则P到直线y=一1的距离b+1为圆P的半径，两圆的圆心距为[*]，列方程得b+1+1=[*]，化简得a²=8b。则点P的轨迹E为x²=8y。 (2)证明：[*] 计算可得x₁x₂=一32。设直线AB的方程为y=kx+t，与抛物线x²=8y联立得[*]一kx一t=0，则x₁x₂=一8t=一32，t=4。因此直线AB恒过点(0，4)。

解析

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已知圆M：x2+(y一2)2=1，直线l：y=一1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切。设动圆圆心P的轨迹为E。 (1)求E的方程； (2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且=一16，求证：直线AB恒过定点。

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