2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f’+(a)f’-(b)＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=0．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f’+(a)f’-(b)＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=0．

admin2019-01-13  40
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f’+(a)f’-(b)＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=0．
选项
答案不妨设f’+(a)＞0，f’-(b)＜0，根据极限的保号性，由f’+(a)=[*]＞0． 则存在δ＞0(δ＜b-a)，当0＜x-a＜δ时，[*]＞0，即f(x)＞f(a)．所以存在x1∈(a，b)，使得f(x1)＞f(a)． 同理由f’-(b)＜0，存在x2∈(a，b)，使得f(x2)＞f(b)． 因为f(x)在[a，b]上连续，且f(x1)＞f(a)，f(x2)＞f(b)，所以f(x)的最大值存(a，b)内取到，即存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)为f(x)在[a，b]上的最大值，故f’(ξ)=0．
解析
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考研数学二

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