设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f’+(a)f’-(b)＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=0．

admin2019-01-13 38

问题设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f’₊(a)f’_-(b)＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=0．

选项

答案不妨设f’₊(a)＞0，f’_-(b)＜0，根据极限的保号性，由f’₊(a)=[*]＞0．则存在δ＞0(δ＜b-a)，当0＜x-a＜δ时，[*]＞0，即f(x)＞f(a)．所以存在x₁∈(a，b)，使得f(x₁)＞f(a)．同理由f’_-(b)＜0，存在x₂∈(a，b)，使得f(x₂)＞f(b)．因为f(x)在[a，b]上连续，且f(x₁)＞f(a)，f(x₂)＞f(b)，所以f(x)的最大值存(a，b)内取到，即存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)为f(x)在[a，b]上的最大值，故f’(ξ)=0．

解析

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