(00年)函数f(x)在[0,+∞]上可导,f(0)=1,且满足等式 (1)求导数f’(x); (2)证明:当x≥0时,成立不等式:e-x≤f(x)≤1.

admin2018-07-27  38

问题 (00年)函数f(x)在[0,+∞]上可导,f(0)=1,且满足等式

(1)求导数f’(x);
(2)证明:当x≥0时,成立不等式:e-x≤f(x)≤1.

选项

答案(1)由题没知 (x+1)f’(x)+(x+1)f(x)一∫0xf(t)dt=0 上式两边对x求导,得(x+1)f"(x)=一(x+2)f’(x) 设u=f’(x),则有[*] 解得[*] 由f(0)=1,及f’(0)+f(0)=0,知f’(0)=一1,从而C=-1. 因此[*] (2)当x≥0时,f’(x)<0,即f(x)单调减少,又f(0)=1,所以f(x)≤f(0)=1 设 φ(x)=f(x)一e-x 则 φ(0)=0。φ’(x)≥0,即φ(x)单调增加,因而 φ(x)≥φ(0)=0,即有f(x)≥e-x 综上所述,当x≥0时,成立不等式e-x≤f(x)≤1

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