2. 考研
  3. (1)设D={(x，y)｜a≤x≤b，c≤y≤d)，若fˊˊxy与fˊˊyx在D上连续．证明： (2)设D为xOy平面上的区域，若fˊˊxy与fˊˊyx都在D上连续．证明：fˊˊxy与fˊˊyx在D上相等．

(1)设D={(x，y)｜a≤x≤b，c≤y≤d)，若fˊˊxy与fˊˊyx在D上连续．证明： (2)设D为xOy平面上的区域，若fˊˊxy与fˊˊyx都在D上连续．证明：fˊˊxy与fˊˊyx在D上相等．

admin2016-09-13  38
问题 (1)设D={(x，y)｜a≤x≤b，c≤y≤d)，若fˊˊxy与fˊˊyx在D上连续．证明：

(2)设D为xOy平面上的区域，若fˊˊxy与fˊˊyx都在D上连续．证明：fˊˊxy与fˊˊyx在D上相等．
选项
答案(1)[*]fˊˊxy(x，y)dxdy=∫abdx∫cdfˊˊxy(x，y)dy=∫abfˊx(x，y)｜∫cddx =∫ab[fˊx(x，d)－fˊx(x，c)dx =f(x，d)｜ab－f(x，c)｜ab =f(b，d)－f(a，d)+f(a，c)－f(b，c)． 同理， [*]fˊˊyx(x，y)dxdy=∫cddy∫abfˊˊyx(x，y)dx=f(b，d)－f(a，d)+f(a，c)－f(b，c)． 结论成立． (2)用反证法． 设[*]P0(x0，y0)∈D，有fˊˊxy(x0，y0)≠fˊˊyx(x0，y0)，不妨设fˊˊxy(x0，y0)－fˊˊyx(x0，y0)＞0．由于 [*][fˊˊxy(x，y)－fˊˊyx(x，y)]=fˊˊxy(x0，y0)－fˊˊyx(x0，y0)＞0． 由极限的保号性，[*]ε0＞0，δ＞0，当P(x，y)∈U(P0，δ)时有fˊˊxy(x，y))－fˊˊyx(x，y)＞ε0． 取D0=｛(x，y)｜[*]U(P0，δ)，于是， [*][fˊˊxy(x，y))－fˊˊyx(x，y)]dxdy≥[*]ε0dxdy=ε0δ2＞0． 由(1)，[*][fˊˊxy(x，y)－fˊˊyx(x，y)]dxdy=0，矛盾，故fˊˊxy(x，y)与fˊˊyx(x，y)在D上相等．
解析
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考研数学三

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