设x∈(0，1)，证明：(1-x)ex＜

admin2016-01-23 35

问题设x∈(0，1)，证明：(1-x)e^x＜

选项

答案因x∈(0，1)，不等式两边取对数，得 ln(1-x)+x＜xln(1-[*])．令f(x)=xln(1-[*])-ln(1-x)-x，则 [*] 当x∈(0，1)时，f’’(x)＞0，故f’(x)单调增加，而f’(0)=0，于是有f’(x)＞f’(0)=0，即f(x)在区间(0，1)内单调增加．又f(0)=0，因此x∈(0，1)时，f(x)＞f(0)=0，即 xln(1-[*])-ln(1-x)-x＞0，亦即ln(1-x)+x＜xln(1-[*])，从而有(1-x

解析本题考查函数小等式的让明——见到函数不等式证明问题题，就要想到利用单调性证之，其方法步骤为
简单移项作函数，认认真真求导数；
搞清增减找定点，比较大小得归宿．
注意，移项构造辅助函数前，要先将不等式恒等变形，否则繁琐．

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