设x∈(0,1),证明:(1-x)ex<

admin2016-01-23  30

问题 设x∈(0,1),证明:(1-x)ex

选项

答案因x∈(0,1),不等式两边取对数,得 ln(1-x)+x<xln(1-[*]). 令f(x)=xln(1-[*])-ln(1-x)-x,则 [*] 当x∈(0,1)时,f’’(x)>0,故f’(x)单调增加,而f’(0)=0,于是有f’(x)>f’(0)=0,即f(x)在区间(0,1)内单调增加.又f(0)=0,因此x∈(0,1)时,f(x)>f(0)=0,即 xln(1-[*])-ln(1-x)-x>0,亦即ln(1-x)+x<xln(1-[*]), 从而有(1-x

解析 本题考查函数小等式的让明——见到函数不等式证明问题题,就要想到利用单调性证之,其方法步骤为
    简单移项作函数,认认真真求导数;
    搞清增减找定点,比较大小得归宿.
注意,移项构造辅助函数前,要先将不等式恒等变形,否则繁琐.
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