设A是三阶矩阵，其特征值是1，3，一2，相应的特征向量依次是α1，α2，α3，若P=（α1，2α3，—α2），则P—1AP=（）

admin2017-12-29 44

问题设A是三阶矩阵，其特征值是1，3，一2，相应的特征向量依次是α₁，α₂，α₃，若P=（α₁，2α₃，—α₂），则P^—1AP=（）

选项 A、
B、
C、
D、

答案A

解析由Aα₂=3α₂，有A（一α₂）=3（一α₂），即当α₂是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量时，一α₂仍是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量。同理，2α₃仍是矩阵A属于特征值λ=一2的特征向量。
当P^—1AP=Λ时，P由A的特征向量构成，Λ由A的特征值构成，且P与Λ的位置是对应一致的，已知矩阵A的特征值是1，3，一2，故对角矩阵Λ应当由1，3，一2构成，因此排除选项B、C。由于2α₃是属于λ=一2的特征向量，所以一2在对角矩阵Λ中应当是第二列，所以应选A。

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考研数学三

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