2. 考研
  3. 设数列{xn}满足0＜x1＜1，ln(1+xn)=exn+1一1(n=1，2，…)．证明 当0＜x＜1时，ln(1+x)＜x＜ex一1；

设数列{xn}满足0＜x1＜1，ln(1+xn)=exn+1一1(n=1，2，…)．证明 当0＜x＜1时，ln(1+x)＜x＜ex一1；

admin2018-08-22  65
问题 设数列{xn}满足0＜x1＜1，ln(1+xn)=exn+1一1(n=1，2，…)．证明
当0＜x＜1时，ln(1+x)＜x＜ex一1；
选项
答案记F1(x)=ln(1+x)一x，则[*]于是F1(x)在(0，1)内单调减少，由F1(0)=0，知F1(x)＜0，x∈(0，1)，从而 ln(1+x)＜x； 记F2(x)=x-ex+1，则F’2(x)=1一ex＜0，于是F2(x)在(0，1)内单调减少，由F2(0)=0， 知F2(x)＜0，x∈(0，1)，从而 x＜ex一1． 故ln(1+x)＜x＜ex一1，0＜x＜1．
解析
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考研数学二

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