设数列{xn}满足0＜x1＜1，ln(1+xn)=exn+1一1(n=1，2，…)．证明当0＜x＜1时，ln(1+x)＜x＜ex一1；

admin2018-08-22 77

问题设数列{x_n}满足0＜x₁＜1，ln(1+x_n)=e^x_n+1一1(n=1，2，…)．证明
当0＜x＜1时，ln(1+x)＜x＜e^x一1；

选项

答案记F₁(x)=ln(1+x)一x，则[*]于是F₁(x)在(0，1)内单调减少，由F₁(0)=0，知F₁(x)＜0，x∈(0，1)，从而 ln(1+x)＜x；记F₂(x)=x-e_x+1，则F’₂(x)=1一e_x＜0，于是F₂(x)在(0，1)内单调减少，由F₂(0)=0，知F₂(x)＜0，x∈(0，1)，从而 x＜e^x一1．故ln(1+x)＜x＜e^x一1，0＜x＜1．

解析

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