2. 考研
  3. 设齐次方程组(Ⅰ)有一个基础解系β＝(b11，b12，…，b1×2n)T，β2＝(b21，b22，…，b2×2n)T，…，βn＝(bn1，bn2，…，bn×2n)T． 证明A的行向量组是齐次方程组(Ⅱ)的通解．

设齐次方程组(Ⅰ)有一个基础解系β＝(b11，b12，…，b1×2n)T，β2＝(b21，b22，…，b2×2n)T，…，βn＝(bn1，bn2，…，bn×2n)T． 证明A的行向量组是齐次方程组(Ⅱ)的通解．

admin2016-10-21  46
问题 设齐次方程组(Ⅰ)有一个基础解系β＝(b11，b12，…，b1×2n)T，β2＝(b21，b22，…，b2×2n)T，…，βn＝(bn1，bn2，…，bn×2n)T．
    证明A的行向量组是齐次方程组(Ⅱ)的通解．
选项
答案分别记A和B为(Ⅰ)和(Ⅱ)的系数矩阵． (Ⅰ)的未知量有2n个，它的基础解系含有n个解，则r(A)＝n，即A的行向量组α1，α2，…，αn线性无关． 由于β1，…，βn都是(Ⅰ)的解，有ABT＝(Aβ1，Aβ2，…，Aβn)＝0，转置得BAT＝0，即BαiT＝0，i＝1，…，n．于是，α1，α2，…，αn是(Ⅱ)的n个线性无关的解．又因为r(B)＝n，(Ⅱ)也有2n个未知量，2n－r(B)＝n．所以α1，α2，…，αn是(Ⅱ)的一个基础解系．从而(Ⅱ)的通解为 c1α1＋c2α2＋…＋cnαn，c1，c2，…，cn可取任意数．
解析
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考研数学二

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