2. 考研
  3. [2011年] 设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l：y=y(x)与直线y=x相切于原点．记α为曲线z=l在点(x，y)处切线的倾角，若，求y(x)的表达式．

[2011年] 设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l：y=y(x)与直线y=x相切于原点．记α为曲线z=l在点(x，y)处切线的倾角，若，求y(x)的表达式．

admin2019-05-10  46
问题 [2011年]  设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l：y=y(x)与直线y=x相切于原点．记α为曲线z=l在点(x，y)处切线的倾角，若，求y(x)的表达式．
选项
答案利用题设条件建立微分方程，求出其特解便可求出y(x)的表达式． 因曲线y=y(x)与直线y=x在原点(0，0)相切，故y(0)=0，y′(0)=1．又由导数的几何意义有[*]=tanα，即α=arctan[*]，故[*]，则 [*]， 即 y＂=(1+y′)2y′． 该微分方程既不显含y，也不显含x，采用较简的解法求解．为此令y=p(x)，则y＂=[*], 于是[*]=(1+P2)p．分离变量有 [*]=dx(p≠0)，dx=[*] 两边积分得到 [*][lnp2一ln(1+p2)]=lnp—ln[*]=x+C， 即 ln[*]=x+C1． 又当x=0时P=P′(0)=1，因而C1=[*]故 [*] 解之得到y′=[*](因y′(0)=1，舍去负根)，故 y=[*]+C2． 又由y(0)=0得C2=一π／4，故所求的y(x)的表达式为y(x)=arcsin(ex／√2)一π／4．
解析
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考研数学二

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