[2011年] 设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l：y=y(x)与直线y=x相切于原点．记α为曲线z=l在点(x，y)处切线的倾角，若，求y(x)的表达式．

admin2019-05-10 40

问题 [2011年] 设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l：y=y(x)与直线y=x相切于原点．记α为曲线z=l在点(x，y)处切线的倾角，若

，求y(x)的表达式．

选项

答案利用题设条件建立微分方程，求出其特解便可求出y(x)的表达式．因曲线y=y(x)与直线y=x在原点(0，0)相切，故y(0)=0，y′(0)=1．又由导数的几何意义有[*]=tanα，即α=arctan[*]，故[*]，则 [*]，即 y＂=(1+y′)²y′．该微分方程既不显含y，也不显含x，采用较简的解法求解．为此令y=p(x)，则y＂=[*], 于是[*]=(1+P²)p．分离变量有 [*]=dx(p≠0)，dx=[*] 两边积分得到 [*][lnp²一ln(1+p²)]=lnp—ln[*]=x+C，即 ln[*]=x+C₁．又当x=0时P=P′(0)=1，因而C₁=[*]故 [*] 解之得到y′=[*](因y′(0)=1，舍去负根)，故 y=[*]+C₂．又由y(0)=0得C₂=一π／4，故所求的y(x)的表达式为y(x)=arcsin(e^x／√2)一π／4．

解析

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考研数学二

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[2011年] 设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l：y=y(x)与直线y=x相切于原点．记α为曲线z=l在点(x，y)处切线的倾角，若，求y(x)的表达式．

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