设f(t)连续并满足f(t)=cos2t+f(s)sinsds，求f(t)．

admin2017-03-15 33

问题设f(t)连续并满足f(t)=cos2t+

f(s)sinsds，求f(t)．

选项

答案因f(t)连续 [*]f(s)sinsds可导[*]f(t)可导．于是，将题设等式两边求导可得 f′(t)=－2sin2t+f(t)sint，即f′(t)－f(t)sint=－2sin2t，又f(0)=1．这是一阶线性微分方程的初值问题．将方程两边乘μ=e^－∫sintdt=e^cost可得 [e^costf(t)]′=－4sintcoste^cost．积分得 e^costf(t)=4∫costd(e^cost)=4(cost－1)e^cost+C．由f(0)=1得C=e．因此，f(t)=e^1－cost+4(cost－1)．

解析

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