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设函数f(χ)是连续且单调增加的奇函数,φ(χ)=∫0χ(2u-χ)f(χ-u)du,则φ(χ)是( ).
设函数f(χ)是连续且单调增加的奇函数,φ(χ)=∫0χ(2u-χ)f(χ-u)du,则φ(χ)是( ).
admin
2019-07-28
61
问题
设函数f(χ)是连续且单调增加的奇函数,φ(χ)=∫
0
χ
(2u-χ)f(χ-u)du,则φ(χ)是( ).
选项
A、单调增加的奇函数
B、单调减少的奇函数
C、单调增加的偶函数
D、单调减少的偶函数
答案
B
解析
φ(χ)=∫
0
χ
(2u-χ)f(χ-u)du
=2∫
0
χ
(χ-u)du-χ∫
0
χ
f(χ-u)du
=-2∫
0
χ
uf(χ-u)d(χ-u)+χ∫
0
χ
(χ-u)d(χ-u)
2∫
χ
0
(χ-t)f(t)dt+χ∫
χ
0
f(t)dt
=2∫
0
χ
(χ-t)f(t)dt-χ∫
0
χ
f(t)dt
=2χ∫
0
χ
f(t)dt-2∫
0
χ
tf(t)dt-χ∫
0
χ
f(t)dt
=χ∫
0
χ
f(t)dt-2∫
0
χ
tf(t)dt
因为φ(-χ)=-χ∫
0
-χ
f(t)dt-2∫
0
-χ
tf(t)dt,
χ∫
0
χ
f(-u)du-2∫
0
χ
(-u)f(-u)d(-u)
=-χ∫
0
χ
f(u)du+2∫
0
χ
uf(u)du=-φ(χ),
所以φ(χ)为奇函数;
又φ′(χ)=∫
0
χ
f(t)dt-χf(χ),
当χ>0时,φ′(χ)=∫
0
χ
f(t)dt-χf(χ)=χ[f(ξ)-f(χ)]≤0(0≤ξ≤χ),
当χ≤0时,φ′(χ)=∫
0
χ
f(t)dt-χf(χ)=χ[f(ξ)-f(χ)]≤0(χ≤ξ≤0),
所以φ(χ)为单调减少的奇函数,选B.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/bPN4777K
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考研数学二
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