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  3. 设函数f(χ)是连续且单调增加的奇函数，φ(χ)＝∫0χ(2u－χ)f(χ－u)du，则φ(χ)是( )．

设函数f(χ)是连续且单调增加的奇函数，φ(χ)＝∫0χ(2u－χ)f(χ－u)du，则φ(χ)是( )．

admin2019-07-28  65
问题 设函数f(χ)是连续且单调增加的奇函数，φ(χ)＝∫0χ(2u－χ)f(χ－u)du，则φ(χ)是(    )．
选项 A、单调增加的奇函数
B、单调减少的奇函数
C、单调增加的偶函数
D、单调减少的偶函数
答案B
解析 φ(χ)＝∫0χ(2u－χ)f(χ－u)du
    ＝2∫0χ(χ－u)du－χ∫0χf(χ－u)du
    ＝－2∫0χuf(χ－u)d(χ－u)＋χ∫0χ(χ－u)d(χ－u)
    2∫χ0(χ－t)f(t)dt＋χ∫χ0f(t)dt
    ＝2∫0χ(χ－t)f(t)dt－χ∫0χf(t)dt
    ＝2χ∫0χf(t)dt－2∫0χtf(t)dt－χ∫0χf(t)dt
    ＝χ∫0χf(t)dt－2∫0χtf(t)dt
    因为φ(－χ)＝－χ∫0－χf(t)dt－2∫0－χtf(t)dt，
    χ∫0χf(－u)du－2∫0χ(－u)f(－u)d(－u)
    ＝－χ∫0χf(u)du＋2∫0χuf(u)du＝－φ(χ)，
    所以φ(χ)为奇函数；
    又φ′(χ)＝∫0χf(t)dt－χf(χ)，
    当χ＞0时，φ′(χ)＝∫0χf(t)dt－χf(χ)＝χ[f(ξ)－f(χ)]≤0(0≤ξ≤χ)，
    当χ≤0时，φ′(χ)＝∫0χf(t)dt－χf(χ)＝χ[f(ξ)－f(χ)]≤0(χ≤ξ≤0)，
    所以φ(χ)为单调减少的奇函数，选B．
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考研数学二

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