2. 考研
  3. 设矩阵A＝I－ααT，其中I是，n阶单位矩阵，α是n维非零列向量，证明： (1)A2＝A的充要条件是αTα＝1； (2)当αTα＝1时，A是不可逆矩阵．

设矩阵A＝I－ααT，其中I是，n阶单位矩阵，α是n维非零列向量，证明： (1)A2＝A的充要条件是αTα＝1； (2)当αTα＝1时，A是不可逆矩阵．

admin2017-06-26  48
问题 设矩阵A＝I－ααT，其中I是，n阶单位矩阵，α是n维非零列向量，证明：
    (1)A2＝A的充要条件是αTα＝1；
    (2)当αTα＝1时，A是不可逆矩阵．
选项
答案(1)A2＝A[*](I－ααT)(I－ααT)＝I－ααT[*]I－2ααT＋α(αTα)αT＝I－ααT[*]－ααT＋(αTα)ααT＝O[*](αTα－1)ααT＝O[*]αTα＝1． (2)当αTα＝1时，A2＝A，若A可逆，则有A-1A2＝A-1A，即A＝I，[*]αTα＝O，这与αTα≠O，矛盾，故A不可逆．
解析
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考研数学三

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