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设矩阵A=I-ααT,其中I是,n阶单位矩阵,α是n维非零列向量,证明: (1)A2=A的充要条件是αTα=1; (2)当αTα=1时,A是不可逆矩阵.
设矩阵A=I-ααT,其中I是,n阶单位矩阵,α是n维非零列向量,证明: (1)A2=A的充要条件是αTα=1; (2)当αTα=1时,A是不可逆矩阵.
admin
2017-06-26
55
问题
设矩阵A=I-αα
T
,其中I是,n阶单位矩阵,α是n维非零列向量,证明:
(1)A
2
=A的充要条件是α
T
α=1;
(2)当α
T
α=1时,A是不可逆矩阵.
选项
答案
(1)A
2
=A[*](I-αα
T
)(I-αα
T
)=I-αα
T
[*]I-2αα
T
+α(α
T
α)α
T
=I-αα
T
[*]-αα
T
+(α
T
α)αα
T
=O[*](α
T
α-1)αα
T
=O[*]α
T
α=1. (2)当α
T
α=1时,A
2
=A,若A可逆,则有A
-1
A
2
=A
-1
A,即A=I,[*]α
T
α=O,这与α
T
α≠O,矛盾,故A不可逆.
解析
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考研数学三
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