设矩阵A＝I－ααT，其中I是，n阶单位矩阵，α是n维非零列向量，证明： (1)A2＝A的充要条件是αTα＝1； (2)当αTα＝1时，A是不可逆矩阵．

admin2017-06-26 85

问题设矩阵A＝I－αα^T，其中I是，n阶单位矩阵，α是n维非零列向量，证明：
(1)A²＝A的充要条件是α^Tα＝1；
(2)当α^Tα＝1时，A是不可逆矩阵．

选项

答案(1)A²＝A[*](I－αα^T)(I－αα^T)＝I－αα^T[*]I－2αα^T＋α(α^Tα)α^T＝I－αα^T[*]－αα^T＋(α^Tα)αα^T＝O[*](α^Tα－1)αα^T＝O[*]α^Tα＝1． (2)当α^Tα＝1时，A²＝A，若A可逆，则有A^-1A²＝A^-1A，即A＝I，[*]α^Tα＝O，这与α^Tα≠O，矛盾，故A不可逆．

解析

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考研数学三

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