[2017年] 设二次型f(x1,x2,x3)=2x12一x22+ax32+2x1x2—8x1x3+2x2x3在正交变换X=QY下的标准形为λ1y12+λ2y22,求a的值及一个正交矩阵.

admin2019-05-10  36

问题 [2017年]  设二次型f(x1,x2,x3)=2x12一x22+ax32+2x1x2—8x1x3+2x2x3在正交变换X=QY下的标准形为λ1y122y22,求a的值及一个正交矩阵.

选项

答案先求出二次型的矩阵及其特征值,再求出特征向量,规范化后即得正交矩阵. (1)A=[*],令X=[*],则 f(x1,x2,x3)=XTAX. 由于标准形为λ1y122 y22,可知矩阵A有零特征值,即λ3=0,故∣A∣=0,即 ∣A∣=[*]=一3(a一2)=0,解得a=2. (2)由∣λE-A∣=[*]=λ(λ+3)(λ一6)=0,得λ1=-3,λ2=6,λ3=0. 当λ1=一3时,一3E—A→[*],得λ1=一3对应的线性无关的特征向量为α1=[*]. 当λ2=6时,6E—A=[*],得λ2=6对应的线性无关的特征向量α2=[*] 由0E-A→[*],得λ3=0对应的线性无关的特征向量α3=[*]. 规范化得[*] 故正交矩阵Q=[*]

解析
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