2. 考研
  3. [2017年] 设二次型f(x1，x2，x3)=2x12一x22+ax32+2x1x2—8x1x3+2x2x3在正交变换X=QY下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及一个正交矩阵．

[2017年] 设二次型f(x1，x2，x3)=2x12一x22+ax32+2x1x2—8x1x3+2x2x3在正交变换X=QY下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及一个正交矩阵．

admin2019-05-10  79
问题 [2017年]  设二次型f(x1，x2，x3)=2x12一x22+ax32+2x1x2—8x1x3+2x2x3在正交变换X=QY下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及一个正交矩阵．
选项
答案先求出二次型的矩阵及其特征值，再求出特征向量，规范化后即得正交矩阵． (1)A=[*]，令X=[*]，则 f(x1，x2，x3)=XTAX． 由于标准形为λ1y12+λ2 y22，可知矩阵A有零特征值，即λ3=0，故∣A∣=0，即 ∣A∣=[*]=一3(a一2)=0，解得a=2． (2)由∣λE－A∣=[*]=λ(λ+3)(λ一6)=0，得λ1=－3，λ2=6,λ3=0． 当λ1=一3时，一3E—A→[*]，得λ1=一3对应的线性无关的特征向量为α1=[*]. 当λ2=6时，6E—A=[*]，得λ2=6对应的线性无关的特征向量α2=[*] 由0E－A→[*]，得λ3=0对应的线性无关的特征向量α3=[*]. 规范化得[*] 故正交矩阵Q=[*]
解析
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考研数学二

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