设幂级数在(-∞，+∞)内收敛，其和函数y(x)满足y’’-2xy’-4y=0，y(0)=0，y’(0)=1。 (Ⅰ)证明an=，n=0，1，2，…； (Ⅱ)求y(x)的表达式。

admin2017-01-14 69

问题设幂级数

在(-∞，+∞)内收敛，其和函数y(x)满足y’’-2xy’-4y=0，y(0)=0，y’(0)=1。
(Ⅰ)证明a_n=

，n=0，1，2，…；
(Ⅱ)求y(x)的表达式。

选项

答案(Ⅰ)记y(x)=[*]，代入微分方程y’’-2xy’-4y=0有 [*] 故有 (n+2)(n+1)a_n+2-2na_n-4a_n=0，即有 [*] (Ⅱ)由初始条件y(0)=0,y’(0)=1，知a₀=0，a₁=1。于是根据递推关系式a_n+2=[*]，有a_2n=0，a_2n+1=[*]。故 [*]

解析

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考研数学一

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[*]
甲、乙两人分别拥有赌本30元和20元，他们利用投掷一枚均匀硬币进行赌博，约定如果出现正面，甲赢10元、乙10元．如果出现反面，则甲输10元、乙赢10元，分别用随机变量表示投掷一次后甲、乙两人的赌本，并求其概率分布和分布函数，画出分布函数的图形．
设非负连续型随机变量X服从指数分布，证明对任意实数r和S，有P{X>r+s|X>s}=P{X>r}．
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用待定系数法，将下列积分中被积函数的分子设为Af(x)+Bfˊ(x)，利用的求法求下列不定积分：
设函数y=y(x)在(-∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．试将x=x(y)所满足的微分方程(d2x)/(dy2)+(y+sinx)(dx/dy)=0变换为y=y(x)满足的微分方程；
将函数f(x)=x/(2+x-x2)展开成x的幂级数.
设有一半径为R的球体，P0是球面一定点，球体上任意一点的密度与该点到P0的距离平方成正比(比例常数k>0)，求球体的重心的位置．
设随机变量X服从正态分布N(0，1)，对给定的α∈(0，1)，数uα满足P{X>uα}=α，若P{丨X丨
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治疗亚急性感染性心内膜炎，应用抗生素的原则中错误的是
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