设幂级数在(-∞,+∞)内收敛,其和函数y(x)满足y’’-2xy’-4y=0,y(0)=0,y’(0)=1。 (Ⅰ)证明an=,n=0,1,2,…; (Ⅱ)求y(x)的表达式。

admin2017-01-14  24

问题 设幂级数在(-∞,+∞)内收敛,其和函数y(x)满足y’’-2xy’-4y=0,y(0)=0,y’(0)=1。
(Ⅰ)证明an=,n=0,1,2,…;
(Ⅱ)求y(x)的表达式。

选项

答案(Ⅰ)记y(x)=[*],代入微分方程y’’-2xy’-4y=0有 [*] 故有 (n+2)(n+1)an+2-2nan-4an=0, 即有 [*] (Ⅱ)由初始条件y(0)=0,y’(0)=1,知a0=0,a1=1。于是根据递推关系式an+2=[*],有a2n=0,a2n+1=[*]。故 [*]

解析
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