设幂级数在(-∞，+∞)内收敛，其和函数y(x)满足y’’-2xy’-4y=0，y(0)=0，y’(0)=1。 (Ⅰ)证明an=，n=0，1，2，…； (Ⅱ)求y(x)的表达式。

admin2017-01-14 29

问题设幂级数

在(-∞，+∞)内收敛，其和函数y(x)满足y’’-2xy’-4y=0，y(0)=0，y’(0)=1。
(Ⅰ)证明a_n=

，n=0，1，2，…；
(Ⅱ)求y(x)的表达式。

选项

答案(Ⅰ)记y(x)=[*]，代入微分方程y’’-2xy’-4y=0有 [*] 故有 (n+2)(n+1)a_n+2-2na_n-4a_n=0，即有 [*] (Ⅱ)由初始条件y(0)=0,y’(0)=1，知a₀=0，a₁=1。于是根据递推关系式a_n+2=[*]，有a_2n=0，a_2n+1=[*]。故 [*]

解析

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