2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0．若Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαn－1=αn，Aαn=0． (1)证明α1，α2，…，αn线性无关； (2)求A的特征值、特征向量．

设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0．若Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαn－1=αn，Aαn=0． (1)证明α1，α2，…，αn线性无关； (2)求A的特征值、特征向量．

admin2016-11-03  23
问题 设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0．若Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαn－1=αn，Aαn=0．
(1)证明α1，α2，…，αn线性无关；
(2)求A的特征值、特征向量．
选项
答案(1)设 k1α1+k2α2+…+knαn=0， ① 用An－1左乘①，得到 k1An－1α1+k2An－1α2+…+knAn－1αn=0． 注意到Aiαj=0，i+j≥n+1．当i+j＜n+1时，Aiαj≠0．故 An－1α2=0， An－1α3=0，…，An－1αn=0，An－1α1≠0， 从而k1An－1α1=0，即 k1An－1α1=k2An－2α2=…=k1Aαn－1=k1αn=0， 而αn≠0，故k1=0． 同法用An－2，An－1，…，A左乘式①可得 k2=k3=…=kn－1=0． 代入式①有knαn=0，而αn≠0，故kn=0，所以α1，α2，…，αn线性无关． (2)因Aαi=αi+1(i=1，2，…，n—1)，Aαn=0，故 A[α1，α2，…，αn]=[α2，α3，…，αn，0]=[α1，α2，…，αn][*] 因α1，α2，…，αn线性无关，故P=[α1，α2，…，αn]可逆，且p－1AP=[*]=B， 所以A～B，显然B的特征值全为0，所以A的特征值也全为0．又因 秩(A)=秩(B)=n—1， 故AX=0的基础解系只含一个解向量．因Aαn=0αn，而αn≠0，故A的关于0的特征向量为kαn(k≠0)．
解析
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考研数学一

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