设A是n阶矩阵,α1,α2,…,αn是n维列向量,且αn≠0.若Aα1=α2,Aα2=α3,…,Aαn-1=αn,Aαn=0. (1)证明α1,α2,…,αn线性无关; (2)求A的特征值、特征向量.

admin2016-11-03  21

问题 设A是n阶矩阵,α1,α2,…,αn是n维列向量,且αn≠0.若Aα12,Aα23,…,Aαn-1n,Aαn=0.
(1)证明α1,α2,…,αn线性无关;
(2)求A的特征值、特征向量.

选项

答案(1)设 k1α1+k2α2+…+knαn=0, ① 用An-1左乘①,得到 k1An-1α1+k2An-1α2+…+knAn-1αn=0. 注意到Aiαj=0,i+j≥n+1.当i+j<n+1时,Aiαj≠0.故 An-1α2=0, An-1α3=0,…,An-1αn=0,An-1α1≠0, 从而k1An-1α1=0,即 k1An-1α1=k2An-2α2=…=k1n-1=k1αn=0, 而αn≠0,故k1=0. 同法用An-2,An-1,…,A左乘式①可得 k2=k3=…=kn-1=0. 代入式①有knαn=0,而αn≠0,故kn=0,所以α1,α2,…,αn线性无关. (2)因Aαii+1(i=1,2,…,n—1),Aαn=0,故 A[α1,α2,…,αn]=[α2,α3,…,αn,0]=[α1,α2,…,αn][*] 因α1,α2,…,αn线性无关,故P=[α1,α2,…,αn]可逆,且p-1AP=[*]=B, 所以A~B,显然B的特征值全为0,所以A的特征值也全为0.又因 秩(A)=秩(B)=n—1, 故AX=0的基础解系只含一个解向量.因Aαn=0αn,而αn≠0,故A的关于0的特征向量为kαn(k≠0).

解析
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