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  3. 设A，B均为n阶对称矩阵，则不正确的是（ ）

设A，B均为n阶对称矩阵，则不正确的是（ ）

admin2019-01-06  44
问题 设A，B均为n阶对称矩阵，则不正确的是（     ）
选项 A、A+B是对称矩阵
B、AB是对称矩阵
C、A*+B*是对称矩阵
D、A—2B是对称矩阵
答案B
解析 由题设条件，则
（A+B）T=AT+BT=A+B，（kB）T=kBT=kB，
所以有
（A—2B）T=AT—（2BT）=A—2B，
从而选项A、D是正确的。
首先来证明（A*）T=（AT）*，即只需证明等式两边（i，j）位置元素相等。（A*）T在位置（i，j）的元素等于A*在（j，i）位置的元素，且为元素aij的代数余子式Aij。而矩阵（AT）*在（i，j）位置的元素等于AT的（j，i）位置的元素的代数余子式，因A为对称矩阵，即aji=aij，则该元素仍为元素aij的代数余子式Aij。从而（A*）T=（AT）*=A*，故A*为对称矩阵，同理，B*也为对称矩阵。结合选项A可知选项C是正确的。
因为（AB）T=BTAT=BA，从而选项B不正确。
注意：当A、B均为对称矩阵时，AB为对称矩阵的充要条件是AB=BA。
所以应选B。
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考研数学三

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