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设A,B均为n阶对称矩阵,则不正确的是( )
设A,B均为n阶对称矩阵,则不正确的是( )
admin
2019-01-06
22
问题
设A,B均为n阶对称矩阵,则不正确的是( )
选项
A、A+B是对称矩阵
B、AB是对称矩阵
C、A
*
+B
*
是对称矩阵
D、A—2B是对称矩阵
答案
B
解析
由题设条件,则
(A+B)
T
=A
T
+B
T
=A+B,(kB)
T
=kB
T
=kB,
所以有
(A—2B)
T
=A
T
—(2B
T
)=A—2B,
从而选项A、D是正确的。
首先来证明(A
*
)
T
=(A
T
)
*
,即只需证明等式两边(i,j)位置元素相等。(A
*
)
T
在位置(i,j)的元素等于A
*
在(j,i)位置的元素,且为元素a
ij
的代数余子式A
ij
。而矩阵(A
T
)
*
在(i,j)位置的元素等于A
T
的(j,i)位置的元素的代数余子式,因A为对称矩阵,即a
ji
=a
ij
,则该元素仍为元素a
ij
的代数余子式A
ij
。从而(A
*
)
T
=(A
T
)
*
=A
*
,故A
*
为对称矩阵,同理,B
*
也为对称矩阵。结合选项A可知选项C是正确的。
因为(AB)
T
=B
T
A
T
=BA,从而选项B不正确。
注意:当A、B均为对称矩阵时,AB为对称矩阵的充要条件是AB=BA。
所以应选B。
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考研数学三
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