已知以2π为周期的周期函数f(x)在(一∞，+∞)上有二阶导数，且f(0)=0．设F(x)=(sinx一1)2f(x)，证明存在使得F’’(x0)=0．

admin2017-05-10 67

问题已知以2π为周期的周期函数f(x)在(一∞，+∞)上有二阶导数，且f(0)=0．设F(x)=(sinx一1)²f(x)，证明存在

使得F’’(x₀)=0．

选项

答案显然[*]于是由罗尔定理知，存在[*] 使得F’(x₁)=0．又 [*] 对F’(x)应用罗尔定理，由于F(x)二阶可导，则存在[*] 使得F’’(x₀^*)=0．注意到F(x)以2π为周期，F’(x)与F’’(x)均为以2π为周期的周期函数，于是存在x₀=2π+x₀^*，即[*]使得 F’’(x₀)=F’’(x₀^*)=0．

解析首先，因f(x)是周期为2π的周期函数，则F(x)也必为周期函数，且周期为2π，于是只需证明存在

，使得F’’(x₀^*)=0即可．

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考研数学三

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