已知以2π为周期的周期函数f(x)在(一∞,+∞)上有二阶导数,且f(0)=0.设F(x)=(sinx一1)2f(x),证明存在使得F’’(x0)=0.

admin2017-05-10  34

问题 已知以2π为周期的周期函数f(x)在(一∞,+∞)上有二阶导数,且f(0)=0.设F(x)=(sinx一1)2f(x),证明存在使得F’’(x0)=0.

选项

答案显然[*]于是由罗尔定理知,存在[*] 使得F’(x1)=0.又 [*] 对F’(x)应用罗尔定理,由于F(x)二阶可导,则存在[*] 使得F’’(x0*)=0. 注意到F(x)以2π为周期,F’(x)与F’’(x)均为以2π为周期的周期函数,于是存在x0=2π+x0*,即[*]使得 F’’(x0)=F’’(x0*)=0.

解析 首先,因f(x)是周期为2π的周期函数,则F(x)也必为周期函数,且周期为2π,于是只需证明存在,使得F’’(x0*)=0即可.
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