2. 考研
  3. 设f(x)在x=a处n阶可导(n≥2)，且当x→a时f(x)是x一a的n阶无穷小量．求证:f(x)的导函数f’(x)当x→a时是x一a的n一1阶无穷小量．

设f(x)在x=a处n阶可导(n≥2)，且当x→a时f(x)是x一a的n阶无穷小量．求证:f(x)的导函数f’(x)当x→a时是x一a的n一1阶无穷小量．

admin2017-05-10  57
问题 设f(x)在x=a处n阶可导(n≥2)，且当x→a时f(x)是x一a的n阶无穷小量．求证:f(x)的导函数f’(x)当x→a时是x一a的n一1阶无穷小量．
选项
答案由题设f(x)在x=a处n阶可导且[*]知，把f(x)在x=a的带皮亚诺余项的n阶泰勒公式代入即得 [*] 从而f(a)=f’(a)=fn(a)=…=f(n-1)(a)=0，f(n)(a)=n!A≠0．设g(x)=f’(x)，由题设知g(x)在x=a处n一1阶可导，且 g(a)=f’(n)=0，g’(a)=f’’(a)=0，…，g(n-2)(a=f(n-1)(a)=0， g(n-1)(a)=f(n)(a)=n!A≠0． 由此可得f’(x)=g(x)在x=a处带皮亚诺余项的n一1阶泰勒公式为 [*] 故f’(x)当x→a时是x—a的n一1阶无穷小量．
解析
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考研数学三

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