已知线性方程组是正定矩阵求当XTX=2时，XTAX的最大值，其中X=(x1，x2，x3)T为3维实向量。

admin2015-09-14 81

问题已知线性方程组

是正定矩阵
求当X^TX=2时，X^TAX的最大值，其中X=(x₁，x₂，x₃)^T为3维实向量。

选项

答案A的最大特征值为10，设对应的单位特征向量为ξ(即Aξ：10ξ，且ξ^Tξ=1)。对二次型X^TAX，存在正交变换X=PY化其为标准形：X^TAX=λ₁y₁²+λ₂₂²+λ₃y₂²≤10(y₁²+y₂²+y₃²)，当X^TX=Y^TY=y₁²+y₂²+y₃²=2时，有X^TAX≤10×2=20，又[*]=2ξ^T(Aξ)=2ξ^T(10ξ)=20(ξ^Tξ=20，综上可知 [*]。

解析

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