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  3. 下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是（ ）

下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是（ ）

admin2019-01-06  93
问题 下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是（     ）
选项 A、 
B、 
C、 
D、 
答案D
解析 选项A是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化。选项B是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化。
选项C是秩为1的矩阵，由|λE—A|=λ3一4λ2，可知矩阵的特征值是4，0，0。对于二重根λ=0，由秩r（0E一A）=r（A）=1可知齐次方程组（0E—A）x=0的基础解系有3—1=2个线性无关的解向量，即λ=0时有两个线性无关的特征向量，从而矩阵必可以相似对角化。
选项D是上三角矩阵，主对角线上的元素1，1，一1就是矩阵的特征值，对于二重特征值λ=1，
由秩

可知齐次线性方程组（E一A）x=0只有3—2=1个线性无关的解，即λ=1时只有一个线性无关的特征向量，故矩阵必不能相似对角化，所以应当选D。
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考研数学三

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